System av linjära algebraiska ekvationer. Homogena system med linjära algebraiska ekvationer

Tillbaka i skolan studerade vi alla ekvationerna och,förvisso, systemet med ekvationer. Men inte många vet att det finns flera sätt att lösa dem. Idag diskuterar vi i detalj alla metoder för att lösa ett system av linjära algebraiska ekvationer som består av mer än två likheter.

berättelse

Hittills är det känt att artlösa ekvationer och deras system härstammar i forntida Babylon och Egypten. Likaledes uppträdde likheten i sin vanliga form för oss efter utseendet av likhetsbeteckningen "=", som introducerades 1556 av den engelska matematikern. Förresten, detta tecken valdes av en anledning: det betyder två parallella lika segment. Det bästa faktumet om jämlikhet kan i själva verket inte föreställas.

Grundaren av modern alfabetiskNotationen av okända och tecken på grader är den franska matematiker François Viet. Emellertid var dess beteckningar betydligt annorlunda än idag. T ex var kvadraten av ett okänt tal betecknat med bokstaven Q (Latin "quadratus") och kuben med bokstaven C (Latin "cubus"). Dessa beteckningar verkar nu obekväma, men då var det det mest förståeligt sättet att skriva system med linjära algebraiska ekvationer.

Emellertid nackdelen med de dåda lösningsmetodernavar att matematiker bara ansåg positiva rötter. Kanske beror det på det faktum att negativa värden inte hade någon praktisk tillämpning. Hur som helst, de italienska matematikerna Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano och Rafael Bombelli i 1500-talet var de första som tog hänsyn till de negativa rötterna. En modern form, den huvudsakliga metoden för att lösa kvadratiska ekvationer (via diskriminerare) skapades endast under 1700-talet tack vare Descartes och Newtons verk.

I mitten av 18th century den schweiziska matematiker GabrielKramer hittade ett nytt sätt att göra lösningar av linjära ekvationer enklare. Denna metod namngavs efter honom och till denna dag använder vi den. Men vi ska prata om Cramers metod lite senare, men för närvarande diskuterar vi linjära ekvationer och metoder för att lösa dem separat från systemet.

Linjära ekvationer

Linjära ekvationer är de enklaste ekvationerna med en variabel (er). De är klassificerade som algebraiska. De linjära ekvationerna skrivs i den allmänna formen enligt följande: a₁* x₁+ a_{2 *}x₂+ ... a_n* x_n= b. Representation av dem i denna form krävs för att kompilera system och matriser ytterligare.

System av linjära algebraiska ekvationer

Definitionen av denna term är: Detta är en uppsättning ekvationer som har vanliga okända kvantiteter och en gemensam lösning. Som regel, i skolan, löstes allt av system med två eller till och med tre ekvationer. Men det finns system med fyra eller flera komponenter. Låt oss titta på det första, hur man skriver ner dem så att det i framtiden var lätt att lösa. Först kommer system med linjära algebraiska ekvationer att se bättre om alla variabler skrivs som x med motsvarande index: 1,2,3 och så vidare. För det andra är det nödvändigt att föra alla ekvationerna i kanonisk form: a₁* x₁+ a_{2 *}x₂+ ... a_n* x_n= b.

Efter alla dessa åtgärder kan vi börja berätta hur man hittar en lösning på system av linjära ekvationer. Mycket för det här behöver vi matriser.

matris

En matris är ett bord som består av strängar ochkolumnerna och vid deras korsning är dess element. Detta kan vara antingen specifika värden eller variabler. Oftast, för att beteckna elementen, placeras de under abonnenterna (till exempel a₁₁ eller a₂₃). Det första indexet är radnumret, och det andra är kolumnen. Över matriser, liksom över alla andra matematiska element, är det möjligt att utföra olika operationer. Således kan du:

1) Subtrahera och lägg till samma storlekstabeller.

2) Multiplicera matrisen med ett tal eller en vektor.

3) Transponera: konvertera raderna av matrisen till kolumner och kolumnerna - i rader.

4) Multiplicera matriserna om antalet rader av en av dem är lika med antalet andra kolumner.

Vi kommer att diskutera alla dessa tekniker mer detaljerat, eftersom dekommer att vara till nytta för oss i framtiden. Subtraktion och tillsats av matriser är mycket enkel. Eftersom vi tar matriser av samma storlek, korrelerar varje element i ett bord med varje element i det andra. Således lägger vi till (subtraherar) dessa två element (det är viktigt att de står på samma platser i sina matriser). När du multiplicerar en matris med ett tal eller en vektor, multiplicerar du helt enkelt varje element i matrisen med det numret (eller vektorn). Transposition är en mycket intressant process. Det är väldigt intressant att ibland se det i verkligheten, till exempel när du ändrar orienteringen på en tablett eller telefon. Ikonerna på skrivbordet är en matris, och när positionen ändras, transponeras den och blir bredare men minskar i höjd.

Vi kommer att analysera processen med multiplicering av matriser. Även om det inte kommer till nytta, är det fortfarande användbart att känna till det. Multiplicera två matriser endast om antalet kolumner i ett bord är lika med antalet rader i den andra. Nu tar vi elementen i raden av en matris och elementen i den motsvarande kolumnen i den andra. Vi multiplicerar dem med varandra och lägger till dem (det är till exempel produkten av elementen a₁₁ och a₁₂ vid b₁₂ och b₂₂ kommer att vara: a₁₁* b₁₂ + a₁₂* b₂₂). Således får vi ett element av bordet, och det fylls på samma sätt vidare.

Nu kan vi börja överväga hur systemet med linjära ekvationer löses.

Gaussmetoden

Detta ämne börjar äga rum i skolan. Vi känner till begreppet "ett system med två linjära ekvationer" bra och kan lösa dem. Men vad händer om antalet ekvationer är större än två? Gauss-metoden hjälper oss härmed.

Det är självklart lämpligt att använda den här metoden om vi gör en matris från systemet. Men du kan inte förvandla det och lösa det i sin rena form.

Så hur kan systemet lösas med ett linjärt systemGaussiska ekvationer? Förresten, även om den här metoden är uppkallad efter honom, men den upptäcktes i antiken. Gauss föreslår följande: att utföra operationer med ekvationer, för att så småningom leda hela aggregatet till en stegliknande form. Det är nödvändigt att från början till botten (om det ordnas ordentligt) från den första ekvationen till den sista skulle minska med en okänd. Med andra ord måste vi göra det så att vi får säga tre ekvationer: i de första tre okända, i de andra två, i den tredje. Sedan hittar vi den första okänden från den sista ekvationen, ersätter dess värde i den andra eller första ekvationen och hittar sedan de återstående två variablerna.

Cramer metod

För att behärska denna metod är det viktigtBesitta färdigheter för addition, subtraktion av matriser, och det är också nödvändigt att kunna hitta determinanter. Därför, om du gör det dåligt eller inte vet hur, måste du lära dig och öva.

Vad är kärnan i denna metod, och hur man gör det såCramer system av linjära ekvationer erhölls? Det är väldigt enkelt. Vi måste konstruera en matris av numeriska (nästan alltid) koefficienter för ett system med linjära algebraiska ekvationer. För att göra detta, ta bara siffrorna framför de okända och placera dem i tabellen i den ordning de skrivs i systemet. Om det finns ett "-" tecken framför siffran, skriv då en negativ koefficient. Så gjorde vi den första matrisen av koefficienterna de okända, inte inklusive antalet efter likhetstecknet (naturligtvis, att ekvationen måste reduceras till den kanoniska formen när rätten är bara ett nummer och vänster - alla okända med koefficienter). Då behöver vi skapa flera fler matriser, en för varje variabel. För att göra detta, byt ut varje kolumn i den första matrisen med kolumnen kolumnnummer efter likatecken. Således erhåller vi flera matriser och hittar sedan deras determinanter.

Efter att vi har hittat determinanterna är fallet förliten. Vi har en initial matris, och det finns flera härledda matriser som motsvarar olika variabler. För att få systemlösningarna delar vi determinanten av den erhållna tabellen i determinanten av initialtabellen. Det resulterande talet är värdet av en av variablerna. På samma sätt finner vi alla okända.

Andra metoder

Det finns flera andra metoder förför att erhålla en lösning av system av linjära ekvationer. Till exempel är den så kallade Gauss-Jordan-metoden, som används för att hitta lösningar på ett system med kvadratiska ekvationer, också relaterat till användningen av matriser. Det finns också Jacobi-metoden för att lösa ett system med linjära algebraiska ekvationer. Det är den mest anpassningsbara för en dator och används i datorteknik.

Komplexa fall

Komplexiteten uppstår vanligen om antalet ekvationermindre än antalet variabler. Då kan vi med säkerhet säga att antingen systemet är inkompatibelt (det vill säga det har inga rötter) eller antalet lösningar tenderar att vara oändligt. Om vi ​​har det andra fallet måste vi skriva ned den allmänna lösningen av systemet med linjära ekvationer. Det kommer att innehålla minst en variabel.

slutsats

Så vi kom till slutet. Låt oss sammanfatta: Vi har analyserat vad ett system och en matris är, och vi lärde oss att hitta den allmänna lösningen av ett system av linjära ekvationer. Dessutom övervägde vi andra alternativ. De fick reda på hur systemet med linjära ekvationer är löst: Gauss-metoden och Cramer-metoden. Vi pratade om komplicerade fall och andra sätt att hitta lösningar.

Faktum är att detta ämne är mycket mer omfattande, och om du vill förstå det, rekommenderar vi att du läser mer specialiserad litteratur.