Gaussmetoden: exempel på lösningar och speciella fall

Den gaussiska metoden, även kallad steg-för-steg-metodenuteslutning av okända variabler, är uppkallad efter den framstående tyska forskaren K.F. Gauss, som under sin livstid fick den inofficiella titeln "Matematikungen". Emellertid var denna metod känd långt före den europeiska civilisationen, redan i början av århundradet. BC. e. antika kinesiska forskare använde det i sina skrifter.

Den gaussiska metoden är en klassisk metod för att lösa system med linjära algebraiska ekvationer (SLAE). Den är idealisk för att snabbt lösa avgränsade matriser.

Metoden i sig består av två drag: direkt och bakåt. En rak körning är en sekventiell gjutning av SLAU till en triangulär form, det vill säga nollvärden som ligger under huvuddiagonalen. Den omvända rörelsen innebär sekventiell upptäckt av värdena för variablerna, varvid varje variabel uttrycks genom den föregående.

Att lära sig att tillämpa Gauss-metoden i praktiken är enkel, det är tillräckligt att känna till de elementära reglerna för multiplikation, addition och subtraktion av tal.

För att visa algoritmen för att lösa linjära system med denna metod, låt oss överväga ett exempel.

Så lösa med Gaussisk metod:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Vi måste bli av med variabeln x i andra och tredje raden. För att göra detta lägger vi till det första, multiplicerat med -2 ​​respektive -4. Vi får:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Multiplicera nu den andra raden med 5 och lägg till den till den tredje:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Vi tog vårt system till en triangulär vy. Nu vänder vi oss tillbaka. Vi börjar med den sista raden:
-3z = -18,
z = 6.

Andra raden:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Första raden:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Genom att ersätta de erhållna värdena för variablerna i initialdata är vi övertygade om lösningens korrekthet.

Detta exempel kan lösas av många andra substitutioner, men svaret ska vara detsamma.

Det händer det på ledande första radenDet finns element med för små värden. Det är inte läskigt, men det är ganska komplicerat. Lösningen på detta problem är Gauss-metoden med valet av huvudelementet i kolumnen. Dess väsentlighet består av följande: i första raden är det maximala elementet, kolumnen där den är belägen byts ut med 1-st-kolumnen, det vill säga vårt maximala element blir det första elementet i huvuddiagonalen. Därefter kommer standardberäkningen. Vid behov kan proceduren för byte av kolumnerna upprepas.

En annan modifierad Gauss-metod är Jordan-Gauss-metoden.

Det används för att lösa kvadrat SLAU, när man hittar den inversa matrisen och matrisens rankning (antalet icke-nollrader).

Kärnan i denna metod är att det ursprungliga systemet omvandlas till en enhetsmatris genom transformationer med ytterligare sökning efter värdena för variablerna.

Dess algoritm är följande:

1. Systemet med ekvationer reduceras, som i Gauss-metoden, till en triangulär form.

2. Varje linje är uppdelad med ett visst tal så att enheten på huvuddiagonalen erhålls.

3. Den sista raden multipliceras med ett visst tal och subtraheras från näst sista med en sådan beräkning att vi får 0 på huvuddiagonalen.

4. Operationen 3 upprepas successivt för alla rader tills så småningom en enhetsmatris bildas.

</ p>