Hur härledas cosinusderivatet

Cosininderivatet är analogt medderivat av sinusen, grunden för beviset är definitionen av gränsen för en funktion. Du kan använda en annan metod med trigonometriska formler för att minska cosinus och sinusvinklar. Uttryck en funktion genom en annan - cosinus genom sinusen, och differentiera sinus med ett komplext argument.

Tänk på det första exemplet av derivaten av formeln (Cos (x)) "

Vi ger en infinitesimal ökning Δx till argumentet x av funktionen y = Cos (x). Med det nya värdet av argumentet x + Δx får vi ett nytt värde av funktionen Cos (x + Δx). Då ökningen av funktionen Δy blir Cos (x + Δx) -Cos (x).
Förhållandet mellan ökningen av funktionen och Δx kommer att vara enligt följande: (Cos (x + xx) -Cos (x)) / xx. Vi utför de identiska transformationerna i täljaren av den resulterande fraktionen. Recall formeln skillnads cosinus, är resultatet en arbets -2Sin (Ah / 2) multiplicerad med sin (x + Ah / 2). Vi finner gränsen för partiell lim av denna produkt på Δx för Δx som sträcker sig till noll. Det är känt att den första (kallas anmärkningsvärd) gräns lim (Sin (Ah / 2) / (Ah / 2)) är lika med 1, och begränsa -sin (x + Ah / 2) är lika -sin (x) då Ax, som tenderar att noll.
Skriv resultatet: derivatet (Cos (x)) "är lika med - Sin (x).

Vissa människor tycker om det andra sättet att härleda samma formel

Från trigonometriets kännedom är känd: Cos (x) är lika med Sin (0.5 · Π-x), på samma sätt som Sin (x) är Cos (0,5 · Π-x). Därefter skiljer vi kompositfunktionen - sinus av ytterligare vinkel (istället för cosinus x).
Vi får produkten Cos (0.5 · Π-x) · (0.5 · Π-x),eftersom derivatet av sinus x är lika med cosinus av x. Om vi ​​vänder oss till den andra formeln Sin (x) = Cos (0,5 · Π-x) av cosinusen till sinus tar vi hänsyn till det (0.5 · Π-x) "= -1. Nu får vi -Sin (x).
Således har vi hittat cosinusderivatet, y "= -Sin (x) för funktionen y = Cos (x).

Square-cosinusderivat

Ofta använt exempel där derivat av cosinus används. Funktionen y = Cos²(x) är komplex. Vi finner först skillnaden i en effektfunktion med exponent 2, detta kommer att vara 2 · Cos (x), multiplicera det med derivatet (Cos (x)) ", vilket är -Sin (x). Vi får y" = -2 · Cos (x) · Synd (x). När vi använder formeln Sin (2 · x), dubbelsvetsens sinus, får vi finalen förenklad
svara y "= -Sin (2 x)

Hyperboliska funktioner

Tillämpad i studien av många tekniskadiscipliner i matematik, till exempel, gör det lättare att beräkna integraler, lösning av differentialekvationer. De uttrycks i termer av trigonometriska funktioner med imaginära argument, så hyperbolisk cosinus lm (x) = cos (i · x) där i - är en imaginär enhet, hyperbolisk sinus sh (x) = Sin (i · x).

Det hyperboliska cosinusderivatet beräknas enkelt.
Tänk på funktionen y = (e^x+ e^-x) / 2, detta är den hyperboliska cosinusen av ch (x). Vi använder regeln att hitta derivatet av summan av två uttryck, regeln för att utföra en konstant faktor (Const) bakom derivatets tecken. Andra termen 0,5 e^-x Är en komplex funktion (dess derivat är -0,5 · e^-x), 0,5 e^xÄr första termen. (ch (x)) "= ((e^x+ e^-x) / 2) "kan skrivas annorlunda: (0,5 e^x+ 0,5 · e^-x) "= 0,5 e^x-0,5 · e^-x, eftersom derivatet (t.ex.^-x) "är -1, multiplicerat med e^-x. Resultatet är en skillnad, och detta är den hyperboliska sinusen av sh (x).
Slutsats: (ch (x)) "= sh (x).
Låt oss överväga exemplet på hur man beräknar derivatet av funktionen y = ch (x³1).
Genom regeln för att differentiera en hyperbolisk cosinus med ett komplext argument y "= sh (x³+1) · (x³+1) ", där (x³+1) "= 3 x²0.
Svar: derivatet av denna funktion är 3 x²· Sh (x³1).

Derivaten av funktionerna y = ch (x) och y = Cos (x) är tabulära

När man löser exempel är det inte nödvändigt att skilja dem varje gång enligt det föreslagna systemet, är det tillräckligt att använda avledningen.
Ett exempel. Differensiera funktionen y = Cos (x) + Cos²(-x) -Ch (5x).
Det är lätt att beräkna (med tabelldata), y "= -Sin (x) + Synd (2 · x) -5 · Sh (5 · x).

</ p>